Acerca de los Cursos

Cursos

  • Introducción a la Lógica Matemática

    Impartido por: Rafael Zamora (Universidad de Costa Rica)

    La lógica matemática es el área que estudia la relación fundamental que existe entre el lenguaje matemático y los objetos matemáticos. El objetivo general de este curso será entonces introducir los conceptos básicos del área. Estos conceptos incluyen fórmula, lenguaje, estructura, satisfactibilidad, conjuntos definibles, compacidad, entre otros. Esta relación entre lenguaje y estructuras ha sido particularmente útil en el álgebra. Para introducir esta aplicación, apoyaremos estos conceptos básicos con ejemplos relacionados con distintas estructuras algebraicas como campos y grupos.

    Bibliografía:

    [1] Cori, R. Lascar, D. Mathematical Logic. Oxford University Press, Oxford, 2000.

    [2] Hodges, W. Model Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 42. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

  • Introducción a la O-Minimalidad

    Impartido por: Alf Onshuus (Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia)

    En este cursillo hablaremos de o-minimalidad. Esta es una noción lógica (modelo teórica) que permite recuperar muchos teoremas del análisis real en un contexto más general, que involucra otros campos real cerrados. De cierta forma permite entender hasta qué punto nociones particulares de los reales como la propiedad del supremo son indispensables (o no son indispensables) para muchos de los teoremas con los cuales estamos familiarizados.

    O-minimalidad de hecho termina presentando un contexto analítico sobre los reales que se comporta de muchas maneras como el campo semialgebraico real, lo que ha generado aplicaciones en, por ejemplo, teoría de números. El cursillo intentará llegar hasta las ideas básicas que permitieron dichas aplicaciones, y hablaremos un poco de cómo fueron utilizadas.

  • Introducción a las Superficies de Riemann y Curvas Algebraicas

    Impartido por: Anita Rojas (Universidad De Chile)

    Breve Introducción:

    Estas notas serán impresas y distribuidas a cada estudiantes al inicio de la escuela. link

    Bibliografía:

    Contenido:

    1.     Definiciones básicas: Breve revisión de algunos tópicos de topología y variable compleja. Superficies de Riemann, cartas complejas, variedades complejas.

    2.     Ejemplos. - Conceptos fundamentales: Plano proyectivo complejo P2(C), curvas algebraicas en P2(C), superficies de Riemann, funciones y diferenciales holomorfas y meromorfas, formas diferenciales, variedades complejas, variedades algebraicas, puntos lisos y singularidades.

    3.     Funciones: holomorfas y meromorfas, homomorfismos entre superficies de Riemann, fórmula de Riemann Hurwitz. Curvas elípticas sobre los complejos.

    Metodología:

    El mini curso se basará fundamentalmente en el libro Algebraic Curves and Riemann Surfaces de Rick Miranda y se complementará con otros del mismo tema. Además, se entregarán ejercicios complementando los temas.

    Prerrequisitos recomendados:

    Algebra I, Topologa, Variable compleja. Si no los tiene, deberá aceptar varios resultados.

    Bibliografía:

    [1] R. Miranda. Algebraic Curves and Riemann Surfaces (libro gua).

    [2] H. M. Farkas, I. Kra. Riemann Surfaces.

    [3] G. Springer. Introduction to Riemann Surfaces.

    [4] P. A. Griths. Introduction to Algebraic Curves.

  • Introducción a la Teoría Algebraica de Números

    Impartido por: Andrea Surroca (Université Strasbourg, Francia)

    Breve Introducción:

    Estas notas serán impresas y distribuidas a cada estudiantes al inicio de la escuela. link

    Bibliografía:

    La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números en la que la noción de número se extiende a los números algebraicos, que son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Estudiaremos las nociones relacionadas de base.

    Las raíces de nuestro tema remontan a la Antigua Grecia, mientras que sus ramas tocan casi todos los aspectos de la matemática contemporánea. En 1801 la Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss era publicado por primera vez, siendo este un "tratado fundador", si es que existe uno, por la actitud moderna que tiene hacia la teoría de números. [...] Mucho se puede entender, y mucho de la belleza de los números algebraicos, con un mínimo de conocimientos teóricos.» Barry Mazur.

    Temas:

    Campo de números Normas, trazas y discriminantes Anillo de enteros Factorización de ideales en anillos de Dedekind Decomposición y ramificación Valores absolutos arquimedeos y ultramétricos

    Bibliografía: [Se intentará dar alguna referencia bibliográfica electrónica también en español]

    [1] Field and Galois theroy, by J.Milne, versión pdf en http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ ft.html

    [2] Algebraic numbr field, by J. Milne, versión pdf en http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ ant.html

    [3] Number Theory, by R. Schoof, versión pdf en http://www.mat.uniroma2.it/~schoof/tn2003.pdf

    [4] Number rings, by P. Stevenhagen, versión pdf en http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/ ant.pdf

    [5] Pierre Samuel, Teoría Algebraica de Números. Ediciones Omega, Barcelona, 1972.

  • Introducción a la Teoría de Grupos y la Teoría de Galois

    Impartido por: Adrián Barquero Sánchez (Universidad de Costa Rica)

    Breve Introducción:

    Estas notas serán impresas y distribuidas a cada estudiantes al inicio de la escuela. link

    Bibliografía:

    La Teoría de grupos y la Teoría de Galois son dos de los temas centrales que se estudian en el álgebra moderna. Estos poseen aplicaciones en diversas áreas de la Matemática, Física, Química, Ingeniería, etc. Además, sus conceptos son fundamentales para el estudio de otras ramas de la matemática, como, por ejemplo, de la Teoría de Números. En este curso se dará una introducción a algunos de los aspectos más básicos de ambas teorías, enfatizando el estudio de ejemplos concretos. Los temas que serán tratados en el curso son los siguientes. 

    I-Teoría de Grupos:

    1. Definiciones básicas y ejemplos de grupos.

    2. Subgrupos, clases laterales y el Teorema de Lagrange.

    3. Homomorfismos y los Teoremas de Isomorfismo de Noether.

    4. Acciones de grupos.

    5. Grupos abelianos finitamente generados.

    Bibliografía:

    [1] Dan Saracino, “Abstract Algebra: A First Course”. Second Edition, Waveland Press Inc., Long Grove, Illinois, 2008.

    [2] Serge Lang, “Undergraduate Algebra”. Third edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2005.

    [3] Minking Eie y Shou-Te Chang, “A course on abstract algebra”. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2010.

     

    II-Teoría de Galois:

    1.     Definiciones básicas y ejemplos de cuerpos y extensiones de cuerpos.

    2.     Automorfismos de cuerpos, normalidad y separabilidad.

    3.     El Teorema Fundamental de la Teoría de Galois: Ejemplos.

    4.     Cuerpos finitos.

    5.     Solubilidad por radicales y el Gran Teorema de Galois.

    Bibliografía:

    [1] Joseph Rotman, “Galois Theory”. Universitext, Springer-Verlag, New York, 1990.

    [2] Dan Saracino, “Abstract Algebra: A First Course”. Second Edition, Waveland Press Inc., Long Grove, Illinois, 2008.

    [3] Serge Lang, “Undergraduate Algebra”. Third edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2005.

    [4] Minking Eie y Shou-Te Chang, “A course on abstract algebra”. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2010.

  • Introducción a la Teoría de Modelos

    Impartido por: Alexander Berenstein (Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia)

    La teoría de modelos es un área de la lógica que se centra en el estudio de estructuras en un vocabulario lógico fijo. El objetivo central es analizar los subconjuntos definibles de la estructura, una idea análoga a estudiar los conjuntos construibles en un cuerpo algebraicamente cerrado. Entre las herramientas más importantes se encuentran el teorema de compacidad y la eliminación de cuantificadores (un teorema análogo al teorema de Chevalley-Tarski) cuya finalidad es entender proyecciones de conjuntos definibles en términos de objetos conocidos.

    Los temas del cursillo de modelos son:

    1.     Ultraproductos

    2.     Teorema de Los.

    3.     Aplicaciones.

    4.     Eliminación de cuantificadores

    5.     Ejemplos

    Bibliografía:

    [1] A Course in Model Theory, de Tent y Ziegler.

    [2] Model theory: An introduction, de David Marker.